能读懂引起前两次“数学危机”的悖论

第一次“数学危机”出现在公元前470年的古希腊。古希腊人热衷于探索，理想数学的观念在古希腊民族文化中根深蒂固，何谓理想数学呢，简单点说就是世界上所有事物都可以用数字来表示，整数与整数的比不仅仅只是一个数，更是世界的本源，更是所有客观事物的本质！

上述的整数用今天的话讲就是有理数，古希腊人认为所有数字都可以用两个其他数（有理数）的比值来表示出来，即所有的量都是可以度量的，任意一个数都是可公度量！

然而毕达哥拉斯学派的一位成员研究正方形对角线与边长的关系时，通过反证法证明出正方形对角线与边长的比值无法用两个有理数的比值表示出来。

这个研究成果一经公布，在整个古希腊学术界引起了极大反响，因为发现了不可公度量，即现在的无理数！这个石破天惊的结论正中古希腊人“理想数学”的要害！

然而古希腊人并不愿意放弃自己的精神信仰，他们试图解决无理数带给他们的困惑，然而并不容易，因为随着根号2的发现以及芝诺悖论的提出，他们遇到了一个几乎无法解决的逻辑困难，这个逻辑上的困难直到古希腊帝国灭亡，甚至直到文艺复兴时期仍没有得到解决，这个困难就是“无穷”，它也成为了第二次“数学危机”的主角！

无理数是“无限不循环”小数，既然它是无限的，又是不循环的，没有任何规律，那么到底能不能把它作为一个“数”来看待，既然小数点后的数字是无穷位的，永远数不完，那么就无法知道所有的小数位，就无法知道有理数的具体值，那么还是“数”吗？

无理数根号2的出现极大的动摇了古希腊人对于数学严谨性，确定性的认识与思考，这也产生了消极的影响，从那以后，古希腊人的数学重心就从代数转到了几何，因为几何的图形能够掩盖“无穷”这样的逻辑困难，这也造就了欧几里得《几何原本》的诞生，也造就了中学生